ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ переменных
x1, x2, ..., xхп, через к-рые первоначальные переменные выражаются линейно, т. е. по
формулам:

здесь aii и Ь. (г, j = <1,2,...,
и)
- произвольные числовые коэффициенты. Если bi, Ьвсе равны нулю, то Л. п. переменных называют однородным.

Простейшим примером Л. п. переменных
могут служить формулы преобразования прямоугольных координат на плоскости

Если определитель D = I ац I, составленный
из коэффициентов при переменных, не равен <нулю, то можно и новые
переменные x'i, x'старые. Напр., для формул преобразования прямоугольных координат

и

где а! = - асозсс - bsince, Ъг =
asina -> - Ъ cos a. Другими примерами Л. п. переменных могут служить преобразования
аффинных и однородных проективных координат, замена переменных при преобразовании
квадратичных форм и т. п.

Л. п. векторов (или Л. п. векторного
пространства) называют закон, по к-рому вектору х из к-мерного пространства
ставят в соответствие новый вектор х', координаты к-рого линейно и однородно
выражаются через координаты вектора х :

или коротко

х' = Ах.

Напр., операция проектирования на
одну из координатных плоскостей (пусть на плоскость хОу) будет Л. п. трёхмерного
векторного пространства: каждому вектору а с координатами х,у, z сопоставляется
новый вектор Ь, координаты х', у', z' к-рого выражаются через х, у, z следующим
образом : х' = x, у' = у, z' = 0. Пример Л. п. плоскости - поворот её на
угол а вокруг начала координат. Матрицу

составленную из коэффициентов Л.
п. А, называют его матрицей. Матрицами приведённых выше Л. п. проектирования
и поворота будут соответственно

Л. п. векторного пространства можно
определить (как обычно поступают) без использования системы координат:
соответствие хгу = Ах называют Л. п., если выполняются условия А (х +
у) = Ах + + Ау и А(ах) = аА(х) для любых векторов х и у и любого числа
а. В разных системах координат одному и тому же Л. п. будут соответствовать
разные матрицы и, следовательно, разные формулы для преобразования координат.

К Л. п. относится, в частности, нулевое
Л. п. О, переводящее все векторы в О (нулевой вектор) : Од: = 0 и единичное
Л. п. Е, оставляющее все векторы без изменения: Ex = х; этим Л. п. в любой
системе координат соответствуют нулевая и единичная матрицы.

Для Л. п. векторного пространства
естественным образом определяются операции сложения и умножения: суммой
двух Л. п. А и В называют Л. п. С, переводящее любой вектор х в вектор
Сх = Ах + Вх; произведением Л. п. Л и В называют результат их последовательного
применения: С = АВ, если Сх = А(Вх).

В силу этих определений совокупность
всех Л. п. векторного пространства образует кольцо. Матрица суммы (произведения)
Л. п. равна сумме (произведению) матриц Л. п. слагаемых (сомножителей);
при этом существен порядок множителей, так как произведение Л. п., как
и матриц, не обладает свойством коммутативности. Л. п. можно также умножать
на числа: если Л. п. Л переводит вектор х в вектор у = Ах, то аА переводит
х в ау. Примеры операций над Л. п.: 1) Пусть А к В означают операции проектирования
на оси Ox и Оу в трёхмерном пространстве; А + В будет проектированием на
плоскость хОу, а АВ = 0. 2) А я В-повороты плоскости вокруг начала координат
на углы ф и г|); АВ будет поворотом на угол ф + х|). 3) Произведение единичного
Л. п. Е на число а будет преобразованием подобия с коэффициентом растяжения
(или сжатия) ос. Л. п. В называют обратным к Л. п. А (и обозначают А"¹),
если ВА = Е (или АВ = Е). Если Л. п. А переводило вектор х в вектор у,
то Л. п. Д-¹ переводит у обратно в х. Л. п., обладающее обратным,
называют невырожденным; такие Л. п. характеризуются также тем, что определитель
их матрицы не равен нулю. Нек-рые классы Л. п. заслуживают особого упоминания.
Обобщением поворотов двумерных и трёхмерных евклидовых пространств являются
ортогональные (или унитарные - в комплексных пространствах) Л. п. Ортогональные
Л. п. не изменяют длин векторов (а следовательно, и углов между ними).
Матрицы этих Л. п. в ортонормированной системе координат также наз. ортогональными
(унитарными); произведение ортогональной матрицы на её транспонированную
даёт единичную матрицу: 2йа(йауй = 2йай,-ййу = 0 при zV-j, 2.йа².й
= = .?йа\. = 1 (в_комплексном пространстве .Ейа.ьа;/. = Ъьаыпы = 0, 2й|а|²
= -Sfc|at.|² = 1). Симметрическим (эрмито- в ы <м, или
самосопряжён- н ы м, - в комплексном пространстве) Л. п. называют такое
Л. п., матрица к-рсто_ симметрическая: а. •• = а/. (или a= ац). Симметрические Л. п. осуществляют растяжение пространства с разными
коэффициентами по неск. взаимно ортогональным направлениям. С симметрическими
Л. п. связана теория квадратичных форм (или эрмитовых форм в комплексном
пространстве).

Приведённое выше определение Л. п.
в векторном пространстве, не использующее координатную систему, без всяких
изменений распространяется и на бесконечномерные (в частности, функциональные)
пространства. Л. п. в бесконечномерных пространствах принято называть линейными
операторами.

Лит.: Александров П. С., Лекции по
аналитической геометрии..., М., 1968; Мальцев А. И., Основы линейной алгебры,
3 изд., М., 1970; Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р., Линейная алгебра и многомерная
геометрия, М., 1970

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я