ЛЕЖАНДРА МНОГОЧЛЕНЫ

ЛЕЖАНДРА МНОГОЧЛЕНЫ сферические
многочлены, специальная система многочленов последовательно возрастающих
степеней. Впервые рассматривалась А. Лежандром и П. Лапласом (в 1782-85)
независимо друг от друга. Для п = 0,1,2,... Л. м. P"(x) могут быть определены
формулой:



в частности:

и т. д. Все нули многочлена Р- действительные и лежат в основном промежутке [-1, +1], перемежаясь с
нулями многочлена Pс весом 1 на отрезке [-1, +1,]; они образуют полную систему, чем обусловливается
возможность разложения в ряд по Л. м. произвольной функции f(x), интегрируемой
на отрезке [-1, +1]: где



Характер сходимости рядов по Л.
м. примерно тот же, что и рядов Фурье. Явное выражение для Л. :

Производящая функция



(Л.м.- коэффициенты при n-й степени
в разложении этой функции по степеням г). Рекуооентная

формула: Дифференциальное уравнение
для Л. м.



возникает при разделении переменных
в уравнении Лапласа в сферических координатах. См. также Сферические функции.

Лит.: Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф., Специальные
функции. Формулы, графики, таблицы, пер. с нем., 2 изд., М., 1968; Л е-
б е д е в Н. Н., Специальные функции и их приложения, 2 изд., М.- Л., 1963.

В. И. Битюцков.