КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ

КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ интеграл,
взятый вдоль к.-л. кривой на плоскости или в пространстве. Различают К.
и. 1-го и 2-го типов. К. и. 1-го типа возникает, напр., при рассмотрении
задачи о вычислении массы кривой переменной плотности; он
обозначается через

где С - заданная кривая, ds - дифференциал
её дуги, a f(p) - функция точки на кривой, и представляет собой
предел соответствующих интегральных сумм (см. Интеграл). В случае
плоской кривой С, заданной уравнением у = у(х), К. и. 1-го
типа сводится к обыкновенному интегралу по формуле:

К. и. 2-го типа возникает, напр., при
рас-смотрении задачи о работе силового поля; в случае плоской кривой С
он имеет вид:

и является также пределом соответствующих
интегральных сумм. К. и. 2-го типа сводится к обыкновенному интегралу по
формуле:

где х=x(t),у=y(t)(а<t<B)
- уравнения кривой С в параметрич. форме, и кК.
и. 1-го типа по формуле:

здесь а - угол между осью Ох и
касательной к кривой, направленной в сторону возрастания дуги.

Аналогично определяется К. и. 2-го
типа в пространстве. О К. и. 2-го типа с векторной точки зрения см. Векторное
исчисление.

Пусть D - нек-рая область и
С - её граница. При нек-рых условиях между К. и. по кривой С и двойным
интегралом по области D (см. Кратный интеграл) имеет место
соотношение:

(см. Грина формулы), а между
К. и. и поверхностным интегралом - соотношение:

(см. Стокса формула).

Особенно большое значение К. и. приобрели
в теории функций комплексного переменного (см. Аналитические функции).
К.
и. имеют широкое применение в различных областях механики, физики и техники.

Лит. см. при статьях Интегральное
исчисление,
Интеграл.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я