КОРРЕКТНЫЕ И НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ

КОРРЕКТНЫЕ И НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ

Третье
условие заключается в следующем. Если uи u
- два различных набора исходных данных, мера уклонения к-рых друг от
друга достаточно мала, то мера уклонения решений zR(uи
zR(uменьше любой наперёд заданной меры
точности. При этом предполагается, что в многообразии V = {и}допустимых
Исходных данных и в многообразии возможных решений Z = {z} установлено
понятие меры уклонения (или меры близости) р(u)
и
р*(zфиз. детерминированность задачи. Это объясняется тем, что исходные данные
физ. задачи, как правило, задаются с нек-рой погрешностью; при нарушении
же третьего условия как угодно малые возмущения исходных данных могут вызывать
большие отклонения в решении.

Задачи, не
удовлетворяющие хотя бы одному условию корректности, наз. некорректными
задачами (или некорректно поставленными).

Внимание к
корректности задач было привлечено франц. математиком Ж. Адамаром в связи
с решением краевых задач для уравнений с частными производными. Понятие
корректности задач явилось, в частности, поводом для классификации краевых
задач таких уравнений .

Существовало
мнение, что некорректные задачи не могут встречаться при решении физич.
и технич. задач и что для некорректных задач невозможно построение приближённого
решения в случае отсутствия устойчивости. Расширение средств автоматизации
при получении экспериментальных данных привело к большому увеличению объёма
таких данных; необходимость установления по ним информации о естественнонауч.
объектах потребовала рассмотрения некорректных задач. Развитие электронной
вычислительной техники и применение её к решению матем. задач изменило
точку зрения на возможность построения приближённых решений некорректно
поставленных задач.

Понятия приближённого
решения для К. и н. з. существенно различны. В качестве приближённого решения
z = R (и) корректной задачи можно брать точное её решение г
с
приближёнными исходными данными и, т. к. для любой точности E
приближённого решения корректной задачи в силу третьего условия существует
такая точность б(E) исходных данных, что,
если

Для некорректных
задач точное решение с приближёнными исходными данными нельзя принимать
в качестве приближённого решения. Однако задание приближённых исходных
данных в естеств. науках может быть охарактеризовано не только исходным
элементом и, но и мерой его точности б. Т. о., для определения приближённого
решения имеется не только элемент и, но и параметр б. Понятие приближённого
решения задачи z = R(u) вводится с помощью т. н. параметрич. оператора
R(u),
зависящего
от параметра б и наз. регуляризирующим (или исправляющим) оператором. Если
оператор R(u) определён для всех б > 0 и всех
и, входящих в класс допустимых исходных данных, и если z = R
(и), то для любой заданной точности E существует (хотя бы в
принципе) такое б (E), что для любого

.
т.о., приближённое решение некорректной задачи может быть сведено к нахождению
регуляризирующего оператора

к-рый определяет устойчивое приближение к z.

Примером некорректной
классич. матем. задачи может служить задача приближённого дифференцирования
при определённых (практически важных) мерах точности задания г и и. Именно,
некорректной будет задача о нахождении равномерного приближения
по равномерному приближению и к и, т. к. здесь не выполнено
первое условие корректности:
не для всякой функциитакой, чтоусловие
корректности: если даже существует
производная, то из неравенства

качестве регуляризирующего
оператора можно взять

при
Этот оператор определён для всех
независимо от их дифференцируемости и в ограниченном промежутке даёт равномерное
приближение для всякой непрерывно дифференцируемой функции и (х).

Можно привести
много др. примеров классич. матем. задач, являющихся некорректными при
совершенно естеств. выборе понятий меры точности как для исходных данных
задачи, так и для возможных решений: решение систем линейных алгебр, уравнений
с определителем, равным нулю; задача оптимального планирования; решение
интегральных уравнений 1-го рода; задача аналитического продолжения; суммирование
рядов Фурье; большое число краевых задач для
уравнений с частными производными.

Обширный класс
некорректно поставленных задач в естествознании составляют задачи обработки
наблюдений без дополнит, (количественной) информации о свойствах решений.
Если изучается объект, количественные характеристики z к-рого недоступны
для прямого изучения, то обычно исследуются нек-рые проявления этого объекта
и,
функционально
зависящие от z. Задача обработки наблюдений состоит в решении "обратной
задачи", т. е. в определении характеристики z объекта по результатам
наблюдений и; при этом и задаётся приближённо.

Имеется много
работ (особенно сов. математиков), поев, методам приближённого решения
некорректно поставленных задач
и их применений к решению обратных задач. Эти работы имеют важное значение
для автоматизации обработки наблюдений, для решения проблем управления
и т. д.

Лит.: Тихонов
А. Н., Об устойчивости обратных задач, "Доклады АН СССР", 1943, т. 39,
№ 5; его же, О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации,
там же, 1963, т. 151, № 3; Лаврентьев М. М., О некоторых некорректных задачах
математической физики, Новосиб., 1962. А.Н.Тихонов.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я