ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ

ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ формулы, дающие приближённое выражение функции у = f(x) при
помощи интерполяции, т. е. через интерполяционный многочлен Pn(x) степени
п, значения к-рого в заданных точках xxf в этих точках. Многочлен Pn(x) определяется единственным образом, но
в зависимости от задачи его удобно записывать различными по виду формулами.

1. Интерполяционная
формула Лагранжа:

Ошибка, совершённая
при замене функции f (x) выражением Pабс. величине

где M - максимум
абс. величины (n + 1)-й производной fⁿ⁺¹ (x) функции f (x) на
отрезке [х

2. Интерполяционная
формула Ньютона. Если точки xрасположены на равных расстояниях (xмногочлен

Pможно записать так:

(здесь x= x. a - разности k-гo
порядка:

Это т. н. формула
Ньютона для интерполирования вперёд; название формулы указывает на то,
что она содержит заданные значения у, соответствующие узлам интерполяции,
находящимся только вправо от xфункций для значений x, близких к хо- При интерполировании функций для
значений х, близких к наибольшему узлу xформула Ньютона для интерполирования назад. При интерполировании функций
для значений х, близких к хпреобразовать, изменив начало отсчёта (см. ниже формулы Стирлинга и Бесселя).

Формулу Ньютона
можно записать и для неравноотстоящих узлов, прибегая для этой цели к разделённым
разностям (см. Конечных разностей исчисление). В отличие от формулы Лагранжа,
где каждый член зависит от всех узлов интерполяции, любой &-й член
формулы Ньютона зависит от первых (от начала отсчёта) узлов и добавление
новых узлов вызывает лишь добавление новых членов формулы (в этом преимущество
формулы Ньютона).

3. Интерполяционная
формула Стирлинга:

(о значении
символаи связи центральных
разностей с разностямисм.
ст. Конечных разностей исчисление) применяется при интерполировании функций
для значений х, близких к одному из средних узлов а; в этом случае естественно
взять нечётное число узлов

считая а центр, узлом x

4. Интерполяционная
формула Бесселя:

применяется
при интерполировании функций для значений x, близких середине а между двумя
узлами; здесь естественно брать чётное число узлов
и располагать их симметрично относительно а
Лит. см. при ст. Интерполяция.

В. И. Битюиков.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я