Приложения.

Приложения. В Д. и. устанавливаются
связи между свойствами функции и её производных (или дифференциалов), выражаемые
основными теоремами Д. и. К их числу относятся Ролля теорема, формула
Лагранжа f(a) - f(b) = f'(c) (b-а), где a < с <
b (подробнее см. Конечных приращений формула), и Тейлора
формула.

Эти предложения позволяют методами
Д. и. провести подробное исследование поведения функций, обладающих достаточной
гладкостью (т. е. имеющих производные достаточно высокого порядка). Таким
путём удаётся исследовать степень гладкости, выпуклость и вогнутость,
возрастание и убывание функций, их экстремумы, найти их асимптоты,
точки
перегиба (см. Перегиба точка), вычислить кривизну кривой,
выяснить характер её особых точек и т. д. Напр., условие f'(x)>0
влечёт
за собой (строгое) возрастание функции у = f(x), а условие
f"(x)
>0
-её (строгую) выпуклость. Все точки экстремума дифференцируемой функции,
принадлежащие внутренности её области определения, находятся среди корней
уравнения f'(x) = 0.

Исследование функций при помощи производных
составляет основное приложение Д. и. Кроме того, Д. и. позволяет вычислять
различного рода пределы функций, в частности пределы вида О/С и БЕСКОНЕЧНОСТЬ/БЕСКОНЕЧНОСТЬ
(см. Неопределённое выражение, Лопиталя правило). Д. и. особенно
удобно для исследования элементарных функций, т. к. в этом случае их производные
выписываются в явной форме.

Д. и. функций многих переменных. Методы
Д. и. применяются для изучения функций нескольких переменных. Для функции
двух независимых переменных z = f (х,у) частной производной по х
наз.
производная этой функции по .г при постоянном у. Эта частная производная
обозначается z'или df(x,y)/dx,
так
что

Аналогично определяется и обозначается
частная производная z по у. Величина

Дz = f(x + Дx,y + Дy) - f(x,y) наз.
полным приращением функции z= f(x,y). Если его можно представить
в виде

где а - бесконечно малая более высокого
порядка, чем расстояние между точками (х,у) и (x + Дx,у + Дy), то
говорят, что функция z=f(x,y) дифференцируема. Слагаемые АДх
+ ВДу образуют полный дифференциал dz функции z = f(x,y),
причём
А
= z'Вместо Д.Т и Ду обычно пишут
dx
и dy, так что

Геометрически дифференцируемость функции
двух переменных означает существование у её графика касательной плоскости,
а дифференциал представляет собой приращение аппликаты касательной плоскости,
когда независимые переменные получают приращения dx и dy. Для
функции двух переменных понятие дифференциала является значительно более
важным и естественным, чем понятие частных производных. В отличие от функций
одного переменного, для функций двух переменных существование обеих частных
производных первого порядка ещё не гарантирует дифференцируемости функции.
Однако, если частные производные кроме того ещё непрерывны, то функция
дифференцируема.

Аналогично определяются частные производные
высших порядков. Частные производные d²f/dx² и
d²f/dy²,
в
которых дифференцирование ведётся по одному переменному, называют чисты-

ми, а частные производные d²f/dxdy
и d²f/dydx - смешанными. Если смешанные частные производные
непрерывны, то они между собой равны. Все эти определения и обозначения
переносятся на случай большего числа переменных.

Историческая справка. Отдельные
задачи об определении касательных к кривым и о нахождении максимальных
и минимальных значений переменных величин были решены ещё математиками
Древней Греции. Напр., были найдены способы построения касательных к коническим
сечениям и нек-рым другим кривым. Однако разработанные античными математиками
методы были применимы лишь в весьма частных случаях и далеки от идей Д.
и.

Эпохой создания Д. и. как самостоят, раздела
математики следует считать то время, когда было понято, что указанные специальные
задачи вместе с рядом других (в особенности с задачей определения мгновенной
скорости) решаются при помощи одного и того же математич. аппарата - при
помощи производных и дифференциалов. Это понимание было достигнуто И. Ньютоном
и Г. Лейбницем.

Ок. 1666 И. Ньютон разработал метод флюксий
(см. Флюксий исчисление). Осн. задачи Ньютон формулировал в терминах
механики: 1) определение скорости движения по известной зависимости пути
от времени; 2) определение пройденного за данное время пути по известной
скорости. Непрерывную переменную Ньютон называл флюентой (текущей), её
скорость -флюкcиеq. Т. о., у Ньютона главными понятиями были производная
(флюксия) и неопределённый интеграл как первообразная (флюента). Он стремился
обосновать метод флюксий с помощью теории пределов, хотя последняя была
им лишь намечена.

В сер. 70-х гг. 17 в. Г. Лейбниц разработал
очень удобный алгоритм Д. и. Осн. понятиями у Лейбница явились дифференциал
как бесконечно малое приращение переменного и определённый интеграл как
сумма бесконечно большого числа дифференциалов. Лейбницу принадлежат обозначения
дифференциала dx и интеграла ИНТЕГРАЛ (ydx), ряд правил дифференцирования,
удобная и гибкая символика и, наконец, сам термин "дифференциальное исчисление".
Дальнейшее развитие Д. и. шло сначала по пути, намеченному Лейбницем; большую
роль на этом этапе сыграли работы братьев Я. и И. Бернулли, Б. Тейлора
и
др.

Следующим этапом в развитии Д. и. были
работы Л. Эйлера и Ж. Лагранжа (18 в.). Эйлер впервые стал
излагать его как аналитич. дисциплину, независимо от геометрии и механики.
Он вновь выдвинул в качестве основного понятия Д. и. производную. Лагранж
пытался строить Д. и. алгебраически, пользуясь разложением функций в степенные
ряды; ему, в частности, принадлежит введение термина -"производная" и обозначения
у'
или f'(x). В нач. 19 в. была удовлетворительно решена задача обоснования
Д. и. на основе теории пределов. Это было выполнено гл. обр. благодаря
работам О. Коши, Б. Больцано и К. Гаусса. Более глубокий
анализ исходных понятий Д. и. был связан с развитием теории множеств и
теории функций действительного переменного в кон. 19 -нач. 20 вв.

Лит.:< История-Вилейтнер
Г., История математики от Декарта до середины 19 столетия, пер. с нем.,
2 изд., М., 1966; Строик Д. Я., Краткий очерк истории математики, пер.
с нем., 2 изд., М., 1969; Cantor М., Vorlesungen uber Geschichte der Mathematik,
2 Aufl., Bd 3-4, Lpz.- В., 1901-24.

Работы основоположников и классиков
Д. и. Ньютон И., Математические работы, пер. с латин., М.- Л., 1937;
Леибниц Г., Избранные отрывки из математических сочинений, пер. с латин.,
"Успехи математических наук", 1948, т. 3, в. 1; Л'Опиталь Г. Ф. де, Анализ
бесконечно малых, пер. с франц., М.-Л-, 1935; Эйлер Л., Введение в анализ
бесконечных, пер. с латин., 2 изд., т. 1, М., 1961; его же, Дифференциальное
исчисление, пер. с латин., М.- Л., 1949; Коши О. Л., Краткое изложение
уроков о дифференциальном и интегральном исчислении, пер. с франц., СПБ,
1831; его же, Алгебраический анализ, пер. с франц., Лейпциг, 1864

Учебники и учебные пособия по Д. и.
Xинчин
А. Я., Краткий курс математического анализа, 3 изд., М., 1957; его ж е,
Восемь лекций по математическому анализу, 3 изд., М.- Л., 1948; Смирнов
В. И., Курс высшей математики, 22 изд., т. 1, М., 1967; Фихтенгольц Г.
М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 1, М.,
1969; Ла Валле-Пуссен Ш. Ж. де, Курс анализа бесконечно малых, пер. с франц.,
т. 1, Л. -М., 1933; Курант Р., Курс дифференциального и интегрального исчисления,
пер. с нем. и англ., 4 изд., т. 1, М., 1967; Банах С., Дифференциальное
и интегральное исчисление, пер. с польск., 2 изд., М., 1966; Рудин У.,
Основы математического анализа, пер. с англ., М., 1966.

Под редакцией С. Б. Стечкина.