ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ раздел
математики, в к-ром изучаются производные и дифференциалы функций и их
применения к исследованию функций. Оформление Д. и. в самостоятельную матем.
дисциплину связано с именами И. Ньютона и Г. Лейбница (вторая
половина 17 в.). Они сформулировали осн. положения Д. я. и чётко указали
на взаимно обратный характер операций дифференцирования и интегрирования.
С этого времени Д. и. развивается в тесной связи с интегральным исчислением,
вместе
с к-рым оно составляет осн. часть матем. анализа (или анализа бесконечно
малых). Создание дифференциального и интегрального исчислений открыло новую
эпоху в развитии математики. Оно повлекло за собой появление ряда матем.
дисциплин: теорий рядов, теории дифференциальных уравнений, дифференциальной
геометрии и вариационного исчисления. Методы матем. анализа нашли применение
во всех разделах математики. Неизмеримо расширилась область приложений
математики к вопросам естествознания и техники. "Лишь дифференциальное
исчисление дает естествознанию возможность изображать математически не
только с о-стояния, но и процессы: движение" (Энгельс Ф., см. Маркс К.
и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 20, с. 587).

Д. и. зиждется на следующих важнейших понятиях
математики, определение и исследование к-рых составляют предмет введения
в матем. анализ: действительные числа (числовая прямая), функция,
предел, непрерывность. Все эти понятия выкристаллизовались и получили
совр. содержание в ходе развития и обоснования дифференциального и интегрального
исчислений. Осн. идея Д. и. состоит в изучении функций в малом. Точнее:
Д. и. даёт аппарат для исследования функций, поведение к-рых в достаточно
малой окрестности каждой точки близко к поведению линейной функции или
многочлена. Таким аппаратом служат центральные понятия Д. и.: производная
и дифференциал. Понятие производной возникло из большого числа задач естествознания
и математики, приводящихся к вычислению пределов одного и того же типа.
Важнейшие из них -определение скорости прямолинейного движения точки и
построение касательной к кривой. Понятие дифференциала является матем.
выражением близости функции к линейной в малой окрестности исследуемой
точки. В отличие от производной, оно легко переносится на отображения одного
евклидова пространства в другое и на отображения произвольных линейных
нормированных пространств и является одним из осн. понятий совр. нелинейного
функционального
анализа.

Производная. Пусть требуется определить
скорость прямолинейно движущейся материальной точки. Если движение равномерно,
то пройденный точкой путь пропорционален времени движения; скорость такого
движения можно определить как путь, пройденный за единицу времени, или
как отношение пути, пройденного за нек-рый промежуток времени, к длительности
этого промежутка. Если же движение неравномерно, то пути, пройденные точкой
в одинаковые по длительности промежутки времени, будут, вообще говоря,
различными. Пример неравномерного движения даёт тело, свободно падающее
в пустоте. Закон движения такого тела выражается формулой s= gt²/2,
где
s -пройденный путь с начала падения (в метрах), t - время падения
(в секундах), g - постоянная величина, ускорение свободного падения,
g
- 9,81 м/сек². За первую секунду падения тело пройдёт
ок. 4,9 м, за вторую - ок. 14,7 м, а за десятую - ок. 93,2
м, т. е. падение происходит неравномерно. Поэтому приведённое выше
определение скорости здесь неприемлемо. В этом случае рассматривается средняя
скорость движения за нек-рый промежуток времени после (или до) фиксированного
момента t; она определяется как отношение длины пути, пройденного
за этот промежуток времени, к его длительности. Эта средняя скорость зависит
не только от момента t, но и от выбора промежутка времени. В нашем
примере средняя скорость падения за промежуток времени от t до t
+ Дt равна

Это выражение при неограниченном уменьшении
промежутка времени Дt приближается к величине gt, к-рую называют
скоростью движения в момент времени t. Таким образом, скорость движения
в к.-л. момент времени определяется как предел средней скорости, когда
промежуток времени неограниченно уменьшается.

В общем случае эти вычисления надо проводить
для любого момента времени t, промежутка времени от t до
t
+ At и закона движения, выражаемого формулой s = f(t). Тогда
средняя скорость движения за промежуток времени от t aot + At даётся
формулой Дs/Дt, где Дs = - f(t + Дt) - f(t), а скорость движения
в момент времени t равна

Осн. преимущество скорости в данный момент
времени, или мгновенной скорости, перед средней скоростью состоит в том,
что она, как и закон движения, является функцией времени t, а не
функцией интервала (f,t + Дt). С другой стороны, мгновенная скорость
представляет собой некоторую абстракцию, поскольку непосредственному измерению
поддаётся средняя, а не мгновенная скорость.

К выражению типа (*) приводит и задача
(см. рис.) построения касательной к плоской кривой в нек-рой её
точке М. Пусть кривая Г есть график функции у = f(x). Положение
касательной будет определено, если будет найден её угловой коэффициент,
т. е. тангенс угла а, образованного касательной с осью Ох. Обозначим
через х<, абсциссу точки М, а через х=
х+ Дх - абсциссу точки M1. Угловой коэффициент секущей
MM1равен

где Ду = М1N = f(x+ Дх) - f(xприращение функции на отрезке [хОпределяя касательную в точке М как предельное положение секущей
MM1,
когда
х1 стремится к х

Отвлекаясь от механич. или геом.содержания
приведённых задач и выделяя общий для них приём решения, приходят к понятию
производной. Производной функции у = f(x) в точке х наз.
предел (если он существует) отношения приращения функции к приращению аргумента,
когда последнее стремится к нулю, так что

С помощью производной определяется, кроме
уже рассмотренных, ряд важных понятий естествознания. Напр., сила тока

менение количества вещества за время Д?;
вообще, производная по времени есть мера скорости процесса, применимая
к самым разнообразным физ. величинам.

Производную функции у = f (х)
обозначают
f'(х),
у', dy/dx, df/dx или Df (x). Если функция
y = f(x)
имеет
в точке хпроизводную, то она определена как в самой
точке Ха, так и в нек-рой окрестности этой точки и непрерывна в
точке хОбратное заключение было бы, однако, неверным.
Напр., непрерывная в каждой точке функция у =|х|
= + КОРЕНЬ(х²⁾,
графиком
к-рой служат биссектрисы первого и второго координатных углов, при х
= 0 не имеет производной, т. к. отношение Дy//Дx не имеет предела при
Дх->0: если Дх> 0, это отношение равно + 1, а если Дx<0, то оно
равно -1. Более того, существуют непрерывные функции, не имеющие производной
ни в одной точке (см. Непрерывная функция).

Операцию нахождения производной называют
дифференцированием. На классе функций, имеющих производную, эта операция
линейна.

Здесь С, п и а - постоянные, я>0.
Эта таблица, в частности, показывает, что производная от всякой элементарной
функции есть снова элементарная функция.

Если производная f'(x), в свою очередь,
имеет производную, то её называют второй производной функции у = f(x)
и
обозначают

у", f"(x), d²y/dx²,
d²f/dx² или
D²f(x). Для прямолинейно движущейся точки вторая производная
характеризует её ускорение.

Аналогично определяются и производные.более
высокого (целого) порядка. Производная порядка п обозначается уⁿ,
fⁿ(x), dⁿy/dxⁿ, dⁿf/dxⁿили
Dⁿf(x).

Дифференциал. Функция у =
f(x),
область
определения к-рой содержит нек-рую окрестность точки
хназ.
дифференцируемой в точке хесли её приращение

где А=А(х0
при
х->хо.
В этом и только в этом случае выражение АДх наз. дифференциалом
функции f(x) в точке хи обозначается
dy или
df(xo).
Геометрически дифференциал (при фиксированном значении -гменяющемся приращении Дх) изображает приращение ординаты касательной,
т. е. отрезок NT (см. рис.). Дифференциал
dy представляет
собой функцию как от точки х, так и от приращения Дх.
Говорят, что дифференциал есть главная линейная часть приращения функции,
понимая под этим, что, при фиксированном хесть
линейная функция от Дх; и разность Дy - dy
есть бесконечно
малая относительно Дх. Для функции f(x) =
х имеем
dx
= Дх, т. е. дифференциал независимого переменного совпадает
с его приращением. Поэтому обычно пишут dy = Adx. Имеется
тесная связь между дифференциалом функции и её производной. Для того чтобы
функция от одного п е-ременного y= f(x) имела в точке хдифференциал,
необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке (конечную) производную
f'(хи справедливо равенство
dy = f (хНаглядный
смысл этого предложения состоит в том, что касательная к кривой y -
f(x) в точке с абсциссой
хкак предельное положение
секущей является также такой прямой, к-рая в бесконечно малой окрестности
точки хпримыкает к кривой более тесно, чем любая другая
прямая. Таким образом, всегда А(х=
f'(xa), запись
dy/dx можно понимать не только как обозначение для производной f'(хно и как отношение дифференциалов зависимого и независимого переменных.
В силу равенства dy = f'(хправила нахождения дифференциалов
непосредственно вытекают из соответствующих правил нахождения производных.

Рассматриваются также дифференциалы высших
порядков. На практике с помощью дифференциалов часто производят приближённые
вычисления значений функции, а также оценивают погрешности вычислений.
Пусть, напр., надо вычислить значение функции f(x) в точке х,
если
известны f(xo) и f'(xo). Заменяя приращение функции её дифференциалом,
получают приближённое равенство f(x)