ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА

ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА (в классич.
смысле), механич. система с конечным числом степеней свободы, напр, система
конечного числа материальных точек или твёрдых тел, движущаяся по законам
классич. динамики. Состояние такой системы обычно характеризуется её расположением
(конфигурацией) и скоростью изменения последнего, а закон движения указывает,
с какой скоростью изменяется состояние системы.

В простейших случаях состояние можно охарактеризовать
посредством величин wк-рые могут
принимать произвольные (вещественные) значения, причём двум различным наборам
величин w..., wи w', ..., w'отвечают
различные состояния, и обратно, а близость всех wi к
wi' означает
близость соответствующих состояний системы. Закон движения тогда записывается
в виде системы обыкновенных дифференциальных ур-ний:

wi = fi(wi=1,...,m. (1) Рассматривая значения
w,
..., wкак координаты точки w
в m-мерном
пространстве, можно геометрически представить соответствующее состояние
Д. с. посредством точки w. Эту точку называют фазовой (иногда также
изображающей, или представляющей) точкой, а пространство - фазовым пространством
системы (прилагательное "фазовый" связано с тем, что в прошлом состояния
системы нередко наз. её фазами). Изменение состояния со временем изображается
как движение фазовой точки по нек-рой линии (т. н. фазовой траектории;
часто её называют просто траекторией) в фазовом пространстве. В последнем
определено векторное поле, сопоставляющее каждой точке w выходящий
из неё вектор f(w) с компонентами
(f

Дифференциальные ур-ния (1), к-рые с помощью
введённых обозначений можно сокращённо записать в виде

w = f(w), (2) означают, что в каждый
момент времени векторная скорость движения фазовой точки равна вектору
f(w),
исходящему
из той точки w фазового пространства, где в данный момент находится
движущаяся фазовая точка. В этом состоит т. н. кинематическая интерпретация
системы дифференциальных ур-ний (1).

Напр., состояние частицы без внутр. степеней
свободы (материальной точки), движущейся в потенциальном поле с потенциалом
U(xxхарактеризуется её положением x=
(x, xи скоростью
х,
вместо скорости можно использовать импульс р = mx, где
т
- масса частицы. Закон движения частицы можно записать в виде x= 1/m
р, p=-grad U (*). (3)

Формулы (3) представляют собой сокращённую
запись системы шести обыкновенных дифференциальных ур-ний 1-го порядка.
Фазовым пространством здесь служит 6-мерное евклидово пространство, 6 компонент
вектора фазовой скорости суть компоненты обычной скорости и силы, а проекция
фазовой траектории на пространство положений частицы (параллельно пространству
импульсов) есть траектория частицы в обычном смысле слова.

Термин "Д. с." применяется и в более широком
смысле, означая произвольную физич. систему (напр., систему автома-тич.
регулирования, радиотехнич. систему), описываемую дифференциальными ур-ниями
вида (1) или (2), и даже просто систему дифференциальных ур-ний такого
вида, безотносительно к её происхождению. См. также ст. Эргодическая
теория.

Лит.: Немыцкий В. В. иСтепа-нов
В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М.-Л., 1949;
Коддингтон Э. А.,Левинсон Н., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений,
пер. с англ., М., 1958, гл. 13 - 17; Халмош П. Р., Лекции по эргодической
теории, пер. с англ., М., 1959; Л е ф ш е ц С., Геометрическая теория дифференциальных
уравнений, пер. с англ.. М., 1961.

Д. В. Аносов.