ДВОЙНОЕ ОТНОШЕНИЕ

ДВОЙНОЕ ОТНОШЕНИЕ (сложное,
или ангармоническое) четырёх точек MMна прямой (рис. 1), число, обозначаемое
символом (Mи
равное

При этом отношение Mсчитается
положительным, если направления отрезков Mи
М
совпадают, и - отрицательным при различных направлениях. Д. о. зависит
от порядка нумерации точек, к-рый может отличаться от порядка следования
точек на прямой. Наряду с Д. о. четырёх точек,рассматривается Д. о. четырёх
прямых т,
ттз, mпроходящих через точку О. Это отношение обозначается символом (т.
Оно равно

причём угол (тмежду
прямыми mи т/ рассматривается со знаком.

Если точки MМлежат на прямых т,
ттm(рис. 1), то

(M= (ттт
поэтому, если точки Mи
M'
M' Mполучены
пересечением одной четвёрки прямых mтт(рис. 1), то (M'

Если же прямые mтт и т', т'т'т'М(рис.
2), то (т'=
(тттт).

Д. о. не меняется также и при любых
проективных
преобразованиях, т. е. является инвариантом таких преобразований,
и поэтому Д. о. играют важную роль в проективной геометрии.
Особенно
важную роль играют четвёрки точек и прямых, для к-рых Д. о. равно -1. Такие
четвёрки наз. гармоническими (см. Гармоническое расположение).

Э. Г. Позняк.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я