ГРАФИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

ГРАФИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ методы
получения численных решений различных задач путём графич. построений. Г.
в. (графич. умножение, графич. решение ур-ний, графич. интегрирование и
т. д.) представляют систему построений, повторяющих или заменяющих с известным
приближением соответствующие ана-литич. операции. Графич. выполнение этих
операций требует каждый раз последовательности построений, приводящих в
результате к графич. определению искомой величины. При Г. в. используются
графики
функций. Г. в. находят применение в приложениях математики. Достоинства
Г. в.- простота их выполнения и наглядность. Недостаток - малая точность
получаемых ответов. Однако в большом числе задач, особенно в инж. практике,
точность Г. в. вполне достаточна. Графич. методы с успехом могут быть использованы
для получения первых приближений, уточняемых затем аналитически. Иногда
Г. в. наз. вычисления, производимые при помощи номограмм. Это не совсем
правильно, т. к. номограммы являются геометрич. изображениями функциональных
зависимостей и не требуют для нахождения численных значений функции к.-л.
построений (см. Номография).


Вычисление алгебраических выражений.
Числа при Г.< в. обычно изображаются направленными отрезками на прямой.
Для этого выбирают единичный отрезок (длина его наз. масштабом построения).
Одно из направлений на прямой принимают за положительное. В этом направлении
откладывают отрезки, изображающие положит. числа; отрицат. числа изображаются
отрезками, имеющими противоположное направление. На рис. 1 показаны отрезки
М<, Аи В3 и -4 (положит. направление здесь слева направо).

Рис. 1. Изображение чисел 1, 3 и -4
направленными отрезками на прямой.

Для нахождения суммы чисел соответствующие
им отрезки откладывают на прямой один за другим так, чтобы начало следующего
совпадало с концом предыдущего. Отрезок, началом к-рого является начало
первого отрезка и концом - конец последнего, будет изображать сумму. Разность
чисел находят, строя сумму отрезка, изображающего первое число, и отрезка,
изображающего число, противоположное второму.

Умножение и деление осуществляют построением
пропорциональных отрезков, к-рые отсекают на сторонах угла параллельные
прямые (МА и ВС на рис. 2). Так построены отрезки
1, а, Ъ и с, длины к-рых удовлетворяют соотношению а:1=с:b,
откуда c=ab или b=с/а; следовательно, зная два из трёх отрезков
а,
b и с, всегда можно найти третий, т. е. можно

Рис. 2. Графическое умножение и деление:
с
- аb, b = с/а.

построить произведение или частное
двух чисел. При этом построении единичные отрезки на прямых ОВ и
ОС могут быть различными. Комбинируя действия умножения и сложения, графически
вычисляют суммы произведений вида

и взвешенное среднее

Графич. возведение в целую степень
заключается в последоват. повторении умножения.

Построение значений многочлена

основано на представлении его в виде

и последоват. графич. выполнении действий,
начиная с выражения, заключённого во внутр. скобки.

Графич. решение ур-ния f(x)
=
0 заключается в вычерчивании графика функции y = f(x) и нахождении
абсцисс точек пересечения кривой с осью Ox, к-рые и дают значения
корней ур-ния. Иногда решение можно значительно упростить, если представить
ур-ние в виде и вычертить
кривые . Корнями ур-ния
будут значения абсцисс точек пересечения этих кривых (на рис. 3 показано
нахождение корня х).

Рис. 3. Графическое решение уравнения
•

Рис. 4. Графическое решение кубического
уравнения х³-2,67х-1 = 0.

Так, для решения ур-ния третьей степени
z³ + аz² + + bz + c = 0 его приводят
к виду x³ + px + q = 0 заменой z = x-а/3,
затем ур-ние представляют в виде x³= -px-q
и
вычерчивают кривую у = х³ и прямую у = -px-q.
Точки
их пересечения определяют корни xxур-ния. Построение удобно тем, что кубич. парабола
у = х³ остаётся
одной и той же для всех ур-ний третьей степени. На рис. 4 решено ур-ние
х³- 2,67x-1 = 0. Его корни x
= -1,40, хxур-ние четвёртой степени z⁴ + аz³ + + bz³
+ cz + d = 0. Подстановкой z = x-а/4 его приводят к виду x⁴
+ px² + qx + s = 0 и затем переходят к системе
ур-ний: y = x², (x-x²
+ (y-y)² =r², вводя переменное
у. Здесь xq/2, y = (l-р)/2
и

Первое ур-ние даёт на

плоскости параболу, одну и ту же для
всех ур-ний четвёртой степени, второе - . окружность радиуса т, координаты
центра x, yк-рой легко подсчитать
по коэфф. данного ур-ния. На рис. 5 решено ур-ние x⁴-2,6x²-0,8х-0,6
= 0 (для него xу
= 2). Его корни x = -1,55, x= l,80. Как видно из рис., ур-ние др. действит. корней не имеет.

Рис. 5. Графическое решение уравнения
4-й степени: x2,6х²-0,8x- 0,6 = 0.

Графическое интегрирование. Вычисление
определ. интеграла основано
на замене графика подинтеграль-ной функции y = f(x)
ступенчатой
ломаной. На рис. 6 изображена криволинейная трапеция аАВb,
площадь
к-рой численно равна вычисляемому интегралу. Для построения ломаной криволинейную
трапецию разрезают прямыми, параллельными оси Оу,
на ряд полос -
элементарных криволинейных трапеций. В каждой из них отрезок кривой заменяют
отрезком, параллельным оси Ox, так, чтобы получающиеся прямоугольники
имели примерно ту же площадь, что и соответствующие элементарные криволинейные
трапеции (ломаная изображена на рис. 6 жирной линией). Площадь,
ограниченная ломаной, равна сумме площадей построенных прямоугольников,

т. е.

- длина основания й-го прямо-

угольника, уодно
из значений функции у = f (x) на отрезке,
равное высоте прямоугольника. Это выражение принимают за поиближённое значение

интеграла

вычисляют графически так, как уже было
указано. На рис. 7 выполнены все построения, необходимые для вычисления
интеграла где функция

y = f(x) задана графиком AСПосле разбиения криволинейной трапеции на части прямыми, проходящими через
точки A.,..., Aпостроены прямоугольники.
Высоты их, ординаты точек С,..., Cснесены на ось Оу. Полученные точки Р, ..., Рсоединены
с точкой Р

(ОР = 1). Затем, начиная от
точки а, построена ломаная aBзвенья
к-рой параллельны соответствующим отрезкам РРВеличина интеграла численно равна ординате точки B

Рис. 6-7. Графическое интегрирование.

Для построения графика первообразной
функции у= f(x), т. е.

достаточно соединить плавной кривой
вершины ломаной, получаемой при вычислении


(на рис. 7 точки В).

Графическое дифференцирование. График
производной можно строить по значениям тангенса угла наклона касательной
к графику данной функции в различных его точках. Точность такого построения
мала из-за больших погрешностей при определении направлений касательных.
График производной строят также по секущим, повторяя в обратном порядке
процесс графического интегрирования, изображённый на рис. 7. Для этого
график функции (рис. 8) разбивают на части прямыми, параллельными
оси Оу и проведёнными через равные расстояния.
Через точки деления Aпроводят отрезки
AB, A<,.., параллельные оси Ox.
Отрезки BВравны соответствующим приращениям функции. Их откладывают от оси Ox.
По полученным точкам Астроят
ступенчатую ломаную. Затем проводят кривую, следя за тем, чтобы криволинейные
треугольники в пределах одной ступени ломаной имели равные площади. Эта
кривая и является графиком производной.

Рис. 8. Графическое дифференцирование.


Графическое интегрирование дифференциальных

уравнений. Дифференциальное
уравнение первого порядка dy/dx = f(x, у) определяет на плоскости
поле направлений. Задача интегрирования ур-ния заключается в проведения
кривых, касательные к к-рым имеют направления поля. Различные приёмы графич.
интегрирования состоят в последоват. построении интегральных кривых по
касательным, направления к-рых заданы, и в известной мере повторяют численные
методы интегрирования (см. Приближённое решение дифференциальных
уравнений).

Лит.: Головнин Д. Н., Графическая
математика, М.- Л., 1931; Рунге К., Графические методы математических
вычислений, пер. с нем., М-- Л., 1932.

М. В. Пентковский.