ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕОРИЯ
математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных
событий находить вероятности других случайных событий, связанных к.-л.
образом с первыми.Утверждение о том, что к.-л. событие наступает с вероятностью,
равной, напр., 1/2, ещё не представляет само по себе окончат, ценности,
т. к. мы стремимся к достоверному знанию. Окончат. познават. ценность имеют
те результаты В. т., к-рые позволяют утверждать, что вероятность наступления
к.-л. события А весьма близка к единице или (что то же самое) вероятность
ненаступления события А весьма мала. В соответствии с принципом "пренебрежения
достаточно малыми вероятностями" такое событие справедливо считают практически
достоверным. Ниже (в разделе Предельные теоремы) показано, что имеющие
науч. и практич. интерес выводы такого рода обычно основаны на допущении,
что наступление или ненаступление события А зависит от большого
числа случайных, мало связанных друг с другом факторов (см. по этому поводу
Больших чисел закон). Поэтому можно также сказать, что В. т. есть
математич. наука, выясняющая закономерности, к-рые возникают при взаимодействии
большого числа случайных факторов.
Предмет
теории вероятностей. Для описания закономерной связи между нек-ры-ми
условиями S и событием А, наступление или ненаступление к-рого при
данных условиях может быть точно установлено, естествознание использует
обычно одну из следующих двух схем:
а) при каждом
осуществлении условий S наступает событие А. Такой вид, напр., имеют
все законы классич. механики, к-рые утверждают, что при заданных начальных
условиях и силах, действующих на тело или систему тел, движение будет происходить
однозначно определённым образом.
6) При условиях
S событие А имеет определённую вероятность P(A/S), равную
р. Так, напр., законы радиоактивного излучения утверждают, что для
каждого радиоактивного вещества существует определённая вероятность того,
что из данного количества вещества за данный промежуток времени распадётся
к.-л. число N атомов.
Назовём частотой
события А в данной серии из п испытаний (т. е. из п повторных
осуществлений условий S) отношение h=m/n числа т тех испытаний,
в к-рых А наступило, к общему их числу п. Наличие у события
А при условиях S определённой вероятности, равной р, проявляется
в том, что почти в каждой достаточно длинной серии испытаний частота события
А приблизительно равна р.
Статистич.
закономерности, т. е. закономерности, описываемые схемой типа (б), были
впервые обнаружены на примере азартных игр, подобных игре в кости. Очень
давно известны также статистич. закономерности рождения, смерти (напр.,
вероятность новорождённому быть мальчиком равна 0,515). Кон. 19 в. и 1-я
пол. 20 в. отмечены открытием большого числа статистич. закономерностей
в физике, химии, биологии и т. п.
Возможность
применения методов В. т. к изучению статистич. закономерностей, относящихся
к весьма далёким друг от друга областям науки, основана на том, что вероятности
событий всегда удовлетворяют нек-рым простым соотношениям, о к-рых будет
сказано ниже (см. раздел Основные понятия теории вероятностей). Изучение
свойств вероятностей событий на основе этих простых соотношений и составляет
предмет В. т.
Основные понятия
теории вероятностей. Наиболее просто определяются основные понятия В. т.
как математич. дисциплины в рамках т. н. элементарной В. т. Каждое испытание
Т, рассматриваемое в элементарной В. т., таково, что оно заканчивается
одним и только одним из событий
Частный случай Формула (2)
Пример. При
Исходя из к.-л.
Событие С наз.
"наступает
Объединение
События А
С введёнными
Теорема сложения
Так, в приведённом
1/36 + 2/36
Условную вероятность
что, как можно
т. е. вероятность
Пример. Производится
Каждый Исход
следовательно,
4*0,0064 =
Обобщая рассуждения
здесь п элементов
Приближённое
причём ошибка
К числу основных
Теорема умножения
По вероятностям
В этом случае
Случайные величины.
При одновременном
где x Часто вместо
В число осн.
Схема испытаний
Наиболее серьёзное
Наиболее распространённая
Для создания
Предельные
над её элементарными
- независимые
и Yn - среднее
В соответствии
Механизм возникновения
Случайные процессы.
для всевозможных
Теория случайных
Историческая
Следующий (второй)
Третий период
В Зап. Европе
Лит.: Основоположники
Популярная
Обзоры и монографии.
Ю. В, Прохоров,
А
Б
В
Г
Д
Е
Ё
Ж
З
И
Й
К
Л
М
Н
О
П
Р
С
Т
У
Ф
Х
Ц
Ч
Ш
Щ
Ъ
Ы
Ь
Э
Ю
Я
(тем или иным, в зависимости от случая). Эти события наз. исходами испытания.
С каждым исходом Е
том, что "наступает или
или
или
Исходы
наз. благоприятствующими А, и по определению полагают вероятность
Р(А) события А, равной сумме вероятностей благоприятствующих
ему исходов:
приводит к формуле
(2)
выражает т. н. классическое определение вероятности, в соответствии с k-рым
вероятность к.-л. события А равна отношению числа г исходов,
благоприятствующих А, к числу s всех "равновозможных" исходов. Классич.
определение вероятности лишь сводит понятие "вероятности" к понятию "равновозможности",
к-рое остаётся без ясного определения.
бросании двух игральных костей каждый из 36 возможных исходов может быть
обозначен (i, j), где г - число очков, выпадающее на первой
кости, j - на второй. Исходы предполагаются равновероятными. Событию
А - "сумма очков равна 4", благоприятствуют три исхода (1; 3), (2:
2), (3; 1). Следовательно,
данных событий, можно определить два новых события: их объединение (сумму)
и совмещение (произведение). Событие В наз. объединением событий
если оно имеет вид: "наступает или
совмещением событий A
и А
событий обозначают знаком
,
а совмещение - знаком
.
Т. о., пишут:
и В наз. несовместными, если их одновременное осуществление невозможно,
т. е. если не существует среди исходов испытания ни одного благоприятствующего
и А, и В.
операциями объединения и совмещения событий связаны две осн. теоремы В.
т.- теоремы сложения и умножения вероятностей.
вероятностей. Если события A
сумме их вероятностей.
выше примере с бросанием двух костей событие В - "сумма очков не
превосходит 4", есть объединение трёх несовместных событий A
сложения вероятность Р(В) равна
+ 3/36 = 6/36 = 1/6.
события В при условии Л определяют формулой
показать, находится в полном соответствии со свойствами частот. События
A
если условная вероятность каждого из них при условии, что какие-либо из
остальных наступили, равна его "безусловной" вероятности (см. также Независимость
в теории вероятностей). Теорема умножения вероятностей. Вероятность
совмещения событий A
равна вероятности события A
события A
..., умноженной на вероятность события A
что A
к формуле:
совмещения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
Формула (3) остаётся справедливой, если в обеих её частях нек-рые из событий
заменить на противоположные им.
4 выстрела по цели с вероятностью попадания 0,2 при отдельном выстреле.
Попадания в цель при различных выстрелах предполагаются независимыми событиями.
Какова вероятность попадания в цель ровно три раза?
испытания может быть обозначен последовательностью из четырёх букв [напр.,
(у, н, н, у) означает, что при первом и четвёртом выстрелах были попадания
(успех), а при втором и третьем попаданий не было (неудача)]. Всего будет
2*2*2*2 = 16 исходов. В соответствии с предположением о независимости результатов
отдельных выстрелов следует для определения вероятностей этих исходов использовать
формулу (3) и примечание к ней. Так, вероятность исхода (у, н, н, н) следует
положить равной 0,2-0,8-0,8-0,8 = 0,1024; здесь 0,8 = = 1-0,2 - вероятность
промаха при отдельном выстреле. Событию "в цель попадают три раза" благоприятствуют
исходы (У, У У, н), (у, у, н, у), (у, н, у, у), (н, у, у, у), вероятность
каждого одна и та же:
искомая вероятность равна
0,0256.
разобранного примера, можно вывести одну из осн. формул В. т.: если события
A
каждое вероятность р, то вероятность наступления ровно т из
них равна
обозначает число сочетаний из
по т (см. Биномиальное распределение). При больших п вычисления
по формуле (4) становятся затруднительными. Пусть в предыдущем примере
число выстрелов равно 100, и ставится вопрос об отыскании вероятности х
того, что число попаданий лежит в пределах от 8 до 32. Применение формулы
(4) и теоремы сложения даёт точное, но практически мало пригодное выражение
искомой вероятности
значение вероятности х можно найти по теореме Лапласа (см. Лапласа
теорема)
не превосходит 0,0009. Найденный результат показывает, что событие
практически достоверно. Это самый простой, но типичный пример использования
предельных теорем В. т.
формул элементарной В. т. относится также т. н. формула полной вероятности:
если события A
несовместны и их объединение есть достоверное событие, то для любого события
В его вероятность равна сумме
вероятностей оказывается особенно полезной при рассмотрении составных испытаний.
Говорят, что испытание Т составлено из испытаний Т
Т есть совмещение нек-рых исходов
Y
Из тех или иных соображений часто бывают известны вероятности
(5) с помощью теоремы умножения могут быть определены вероятности Р(Е)
для всех исходов E составного испытания, а вместе с тем и вероятности
всех событий, связанных с этим испытанием (подобно тому, как это было сделано
в разобранном выше примере). Наиболее значительными с практич. точки зрения
представляются два типа составных испытаний: а) составляющие испытания
независимы, т. е. вероятности (5) равны безусловным вероятностям Р(A
испытания, т. е. вероятности (5) равны соответственно:
говорят оО испытаниях, связанных в цепь Маркова. Вероятности всех событий,
связанных с составным испытанием, вполне определяются здесь начальными
вероятностями P(Ai) и переходными вероятностями
(см. также Марковский процесс).
Если каждому исходу E
в соответствие число X
величина X. Среди чисел x
r = 1,2, ..., s называют совокупностью возможных значений случайной величины.
Набор возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей
наз. распределением вероятностей случайной величины (см. Распределения).
Так, в примере с бросанием двух костей с каждым исходом испытания (i,
j) связывается случайная величина X = i + j - сумма очков
на обеих костях. Возможные значения суть 2, 3, 4, ..., 11, 12; соответствующие
вероятности равны 1/36, 2/36, 3/36, ..., 2/36, 1/36.
изучении нескольких случайных величин вводится понятие их совместного распределения,
к-рое задаётся указанием возможных значений каждой из них и вероятностей
совмещения событий
(6)
- какое-либо из возможных значений величины X
величины называются независимыми, если при любом выборе x
события (6) независимы. С помощью совместного распределения случайных
величин можно вычислить вероятность любого события, определяемого этими
величинами, напр. события
полного задания распределения вероятностей случайной величины предпочитают
пользоваться небольшим количеством числовых характеристик. Из них наиболее
употребительны математическое ожидание и дисперсия.
характеристик совместного распределения нескольких случайных величин, наряду
с математич. ожиданиями и дисперсиями этих величин, включаются коэффициенты
корреляции и т. п. Смысл перечисленных характеристик в значит, степени
разъясняется предельными теоремами (см. раздел Предельные теоремы).
с конечным числом исходов недостаточна уже для самых простых применений
В. т. Так, при изучении случайного разброса точек попаданий снарядов вокруг
центра цели, при изучении случайных ошибок, возникающих при измерении к.-л.
величины, и т. д. уже невозможно ограничиться испытаниями с конечным числом
исходов. При этом в одних случаях результат испытания может быть выражен
числом или системой чисел, в других - результатом испытания может быть
функция (напр., запись изменения давления в данной точке атмосферы за данный
промежуток времени), системы функций и т. п. Следует отметить, что многие
данные выше определения и теоремы с незначительными по существу изменениями
приложимы и в этих более общих обстоятельствах, хотя способы задания распределений
вероятностей изменяются (см. Распределения, Плотность вероятности).
изменение претерпевает определение вероятности, к-рое в элементарном случае
давалось формулой (2). В более общих схемах, о к рых идёт речь, события
являются объединениями бесконечного числа исходов (или, как говорят, элементарных
событий), вероятность каждого из к-рых может быть равна нулю. В соответствии
с этим свойство, выраженное теоремой сложения, не выводится из определения
вероятности, а включается в него.
в наст, время логич. схема построения основ В. т. разработана в 1933 сов.
математиком А. Н. Колмогоровым. Осн. черты этой схемы следующие. При изучении
к.-л. реальной задачи - методами В. т. прежде всего выделяется множество
U элементов и, называемых элементарными событиями. Всякое
событие вполне описывается множеством благоприятствующих ему элементарных
событий и потому рассматривается как нек-рое множество элементарных событий.
С нек-рыми из событий А связываются определённые числа Р(А),
называемые их вероятностями и удовлетворяющие условиям:
полноценной математич. теории требуют, чтобы условие 3 выполнялось и для
бесконечных последовательностей попарно несовместных событий. Свойства
неотрицательности и аддитивности есть осн. свойства меры множества. В.
т. может, т. о., с формальной точки зрения рассматриваться как часть меры
теории. Основные понятия В. т. получают при таком подходе новое освещение.
Случайные величины превращаются в измеримые функции, их математич. ожидания
- в абстрактные интегралы Лебега и т. п.-Однако основные проблемы В. т.
и теории меры различны. Основным, специфическим для В. т. является понятие
независимости событий, испытаний, случайных величин. Наряду с этим В. т.
тщательно изучает и такие объекты, как условные распределения, условные
математич. ожидания и т. п.
теоремы. При формальном изложении В. т. предельные теоремы появляются в
виде своего рода надстройки
разделами, в к-рых все задачи имеют конечный, чисто ариф-метич. характер.
Однако познават. ценность В. т. раскрывается только предельными теоремами.
Так, Бернулли теорема показывает, что при независимых испытаниях
частота появления к.-л. события, как правило, мало отклоняется от его вероятности,
а Лапласа теорема указывает вероятности тех или иных отклонений.
Аналогично смысл таких характеристик случайной величины, как её математич.
ожидание и дисперсия, разъясняется законом больших чисел и центральной
предельной теоремой (см. Больших чисел закон, Предельные теоремы теории
вероятностей). Пусть
(7)
случайные величины, имеющие одно и то же распределение вероятностей с
арифметическое первых и величин
из последовательности (7):
с законом больших чисел, каково бы ни было
вероятность неравенства
имеет при
пределом 1, и, т. о., Y
от а. Центральная предельная теорема уточняет этот результат, показывая,
что отклонения Y
распределению со средним 0 и дисперсией
Т. о., для определения вероятностей тех или иных отклонений Y
величин Хn, достаточно знать лишь их дисперсию. В 20-х гг. 20 в.
было обнаружено, что даже в схеме последовательности одинаково распределённых
и независимых случайных величин могут вполне ес-теств. образом возникать
предельные распределения, отличные от нормального. Так, напр., если X
X
то при очень общих условиях распределение суммы
(т. е. времени до n-го возвращения) после умножения на
(а - постоянная, меньшая 1) сходится к нек-рому предельному распределению.
Т. о., время до n-го возвращения растёт, грубо говоря, как
т. е. быстрее п (в случае приложимости закона больших чисел оно
было бы порядка п),
большинства предельных закономерностей может быть до конца понят лишь в
связи с теорией случайных процессов.
В ряде физич. и химич. исследований последних десятилетий возникла потребность,
наряду с одномерными и многомерными случайными величинами, рассматривать
случайные процессы, т. е. процессы, для к-рых определена вероятность
того или иного их течения. Примером случайного процесса может служить координата
частицы, совершающей броуновское движение. В В. т. случайный процесс рассматривают
обычно как однопарамет-рич. семейство случайных величин X(t). В
подавляющем числе приложений параметр t является временем, но этим
параметром может быть, напр., точка пространства, и тогда обычно говорят
о случайной функции. В том случае, когда параметр t пробегает целочисленные
значения, случайная функция наз. случайной последовательностью. Подобно
тому, как случайная величина характеризуется законом распределения, случайный
процесс может быть охарактеризован совокупностью совместных законов распределения
для
моментов времени
при любом
В наст, время наиболее интересные конкретные результаты теории случайных
процессов получены в двух спец. направлениях. Исторически первыми изучались
марковские процессы. Случайный процесс
наз. марковским, если для любых двух моментов времени
условное распределение вероятностей
при условии, что заданы все значения
при
зависит только от
(в силу этого марковские случайные процессы иногда наз. процессами без
последействия). Марковские процессы являются естеств. обобщением детерминированных
процессов, рассматриваемых в классич. физике. В детерминированных процессах
состояние системы в момент времени
однозначно
определяет ход процесса в будущем; в марковских процессах состояние системы
в момент времени
однозначно определяет распределение вероятностей хода процесса при
причём никакие сведения о ходе процесса до момента времени
не изменяют это распределение. Вторым крупным направлением теории случайных
процессов является теория стационарных случайных процессов. Стационарность
процесса, т. е. неизменность во времени его вероятностных закономерностей,
налагает сильное ограничение на процесс и позволяет из одного этого допущения
извлечь ряд важных следствий (напр., возможность т. н. спектральногоразложения
где
случайная
функция с независимыми приращениями). В то же время схема стационарных
процессов с хорошим приближением описывает многие физ. явления.
процессов тесно связана с классич. проблематикой предельных теорем для
сумм случайных величин. Те законы распределения, к-рые выступают при изучении
сумм случайных величин как предельные, в теории случайных процессов являются
точными законами распределения соответствующих характеристик. Этот факт
позволяет доказывать многие предельные теоремы с помощью соответствующих
случайных процессов.
справка. В. т. возникла в сер. 17 в. Первые работы по В. т., принадлежащие
франц. учёным Б. Паскалю и П. Ферма и голл. учёному X. Гюйгенсу, появились
в связи с подсчётом различных вероятностей в азартных играх. Крупный успех
В. т. связан с именем швейц. математика Я. Бернулли, установившего закон
больших чисел для схемы независимых испытаний с двумя исходами (опубл.
в 1713).
период истории В. т. (18 в. и нач. 19 в.) связан с именами А. Муавра (Англия),
П. Лапласа (Франция), К. Гаусса (Германия) и С. Пуассона (Франция). Это
- период, когда В. т. уже находит ряд весьма актуальных применений в естествознании
и технике (гл. обр. в теории ошибок наблюдений, развившейся в связи с потребностями
геодезии и астрономии, и в теории стрельбы). К этому периоду относится
доказательство первых предельных теорем, носящих теперь назв. теорем Лапласа
(1812) и Пуассона (1837); А. Лежандром (Франция, 1806) и Гауссом (1808)
в это же время был разработан способ наименьших квадратов.
истории В. т. (2-я пол. 19 в.) связан в основном с именами рус. математиков
П. Л. Чебышева, А. М. Ляпунова и А. А. Маркова (старшего). В. т. развивалась
в России и раньше (в 18 в. ряд трудов по В. т. был написан работавшими
в России Л. Эйлером, Н. Бернулли и Д. Бернулли; во второй период развития
В. т. следует отметить работы М. В. Остроградского по вопросам В. т., связанным
с математич. статистикой, и В. Я. Буняковского по применениям В. т. к страховому
делу, статистике и демографии). Со 2-й пол. 19 в. исследования по В. т.
в России занимают ведущее место в мире. Чебышев и его ученики Ляпунов и
Марков поставили и решили ряд общих задач в В. т., обобщающих теоремы Бернулли
и Лапласа. Чебышев чрезвычайно просто доказал (1867) закон больших чисел
при весьма общих предположениях. Он же впервые сформулировал (1887) центральную
предельную теорему для сумм независимых случайных величин и указал один
из методов её доказательства. Другим методом Ляпунов получил (1901) близкое
к окончательному решение этого вопроса. Марков впервые рассмотрел (1907)
один случай зависимых испытаний, который впоследствии получил назв. цепей
Маркова.
во 2-й пол. 19 в. получили большое развитие работы по математич. статистике
(в Бельгии - А. Кет-ле, в Англии - Ф. Гальтон) и стати-стич. физике (в
Австрии - Л. Больц-ман), к-рые наряду с основными теоре-тич. работами Чебышева,
Ляпунова и Маркова создали основу для существенного расширения проблематики
В. т. в четвёртом (современном) периоде её развития. Этот период истории
В. т. характеризуется чрезвычайным расширением круга её применений, созданием
нескольких систем безукоризненно строгого математич. обоснования В. т.,
новых мощных методов, требующих иногда применения (помимо классич. анализа)
средств теории множеств, теории функций действительного переменного и функционального
анализа. В этот период при очень большом усилении работы по В. т. за рубежом
(во Франции - Э. Борель, П. Леви, М. Фреше, в Германии - Р. Мизес, в США
- Н. Винер, В. Фел-лер, Дж. Дуб, в Швеции - Г. Крамер) советская наука
продолжает занимать значительное, а в ряде направлений и ведущее положение.
В нашей стране новый период развития В. т. открывается деятельностью С.
Н. Бернштейна; значительно обобщившего классич. предельные теоремы Чебышева,
Ляпунова и Маркова и впервые в России широко поставившего работу по применениям
В. т. к естествознанию. В Москве А. Я. Хинчин и А. Н. Колмогоров начали
с применения к вопросам В. т. методов теории функций действительного переменного.
Позднее (в 30-х гг.) они (и Е. Е. Слуцкий) заложили основы теории случайных
процессов. В. И. Романовский (Ташкент) и Н. В. Смирнов (Москва) поставили
на большую высоту работу по применениям В. т. к математич. статистике.
Кроме обширной моек, группы специалистов по В. т., в наст, время в СССР
разработкой проблем В. т. занимаются в Ленинграде (во главе с Ю. В. Линником)
и в Киеве.
и классики теории вероятностей. Bernoulli J., Ars conjectandi, opus posthumum,
Basueae, 1713 (рус. пер., СПБ, 1913); Laplace |;P. S.], Theorie analytique
des probabilites, 3 ed., P., 1886 (CEuvres completes de Laplase, t. 7,
livre 1 - 2); Чебышев П. Л., Поли, собр. соч., т. 2-3, М.- Л., 1947-48;
,Liаpounoff A., Nouvelle forme du theoreme sur la limite de probabilite,
СПБ, 1901 ("Зап. АН по физико-математическому отделению, 8 серия", т. 12,
№ 5); Марков А. А., Исследование замечательного случая зависимых испытаний,
"Изв. АН, 6 серия", 1907, т. 1, № 3.
и учебная литература. Гнеденко Б. В. и Хинчин А. Я., Элементарное введение
в теорию вероятностей, 3 изд., М.- Л., 1952; Гнеденко Б. В., Курс теории
вероятностей, 4 изд., М., 1965; Марков А. А., Исчисление вероятностей,
4 изд., М., 1924; Берн-штейн С. Н., Теория вероятностей, 4 изд., М.- Л.,
1946; Феллер В., Введение в теорию вероятностей и её приложение (Дискретные
распределения), пер. с англ., 2 изд., т. 1-2, М., 1967.
ГнеденкоБ. В. и Колмогоров А. Н., Теория вероятностей, в кн.: Математика
в СССР за тридцать лет. 1917 - 1947. Сб. ст., М.- Л., 1948; Колмогоров
А. Н., Теория вероятностей, в кн.: Математика в СССР за сорок лет. 1917
- 57. Сб. ст., т. 1,М., 1959; Колмогоров А. Н., Основные понятия теории
вероятностей, пер. с нем., М.- Л., 1936; его же, Об аналитических методах
в теории вероятностей, "Успехи математических наук", 1938, в. 5, с. 5 -
41; Хинчин А. Я., Асимптотические законы теории вероятностей, пер. с нем.,
М.- Л., 1936; Гнеденко Б. В. и Колмогоров А. Н., Предельные распределения
для сумм независимых случайных величин, М.-Л., 194Э; Дуб Дж. Л., Вероятностные
процессы, пер. с англ., М., 1956; Чандрасе-кар С., Стохастические проблемы
в физике и астрономии, пер. с англ., М., 1947; Прохоров Ю. В., Розанов
Ю. А., Теория вероятностей, М., 1967.
Б. Л. Севастьянов.