Условный экстремум. Задача Лагранжа.

Условный экстремум. Задача Лагранжа. В кон. 18 в. был сформулирован ряд задач
на условный экстремум. Этим термином принято называть задачи отыскания
функции x(t), доставляющей экстремум функционалу J(x) при
к.-л. дополнит, условиях, кроме условий на концах интервала (tПростейшей задачей подобного вида является класс т. н. изопериметрических
задач. Своим названием этот класс задач обязан следующей: среди всех
замкнутых кривых данной длины найти ту, к-рая ограничивает максим, площадь.

Значительно
более сложной задачей является та, в к-рой ограничения носят характер дифференциальных
ур-ний. Эту задачу наз. задачей Лагранжа; особое значение она приобрела
в сер. 20 в. в связи с созданием теории оптимального управления. Поэтому
её формулировка даётся ниже на языке этой теории, возникшем после работ
Л. С. Понтрягина и его учеников.

Пусть x(t)
и u(t) - вектор-функции размерностей я и то соответственно,
причём функция x(t), к-рую наз. фазовым вектором, при t = tи t = T удовлетворяет граничным условиям:

(5)

где
и-
нек-рые множества. Простейшим примером условий типа (5) являются условия
(2). Функция x(t) и функция u(t), к-рую наз. управлением,
связаны условием

(6)

где f -
дифференцируемая вектор-функция своих аргументов. Рассматриваемая задача
состоит в следующем: определить функции x(t) и u(t), доставляющие
экстремум функционалу

(7)

Заметим, что
и простейшая задача В. и. и изопериметрич. задача являются частным случаем
задачи Лагранжа.

Задача Лагранжа
имеет огромное прикладное значение. Пусть, напр., ур-ние (6) описывает
движение к.-л. динамич. объекта, напр, космич. корабля. Управление и
- это вектор тяги его двигателя. Множества
и
- это две орбиты разных радиусов. Функционал (7) описывает расход горючего
на выполнение манёвра. Следовательно, задачу Лагранжа, применительно к
данной ситуации, можно сформулировать след, образом: определить закон изменения
тяги двигателя космич. аппарата, совершающего переход с орбиты
на орбиту
за заданное время так, чтобы расход топлива на этот манёвр был минимальным.

Важную роль
в теории подобных задач играет функция Гамильтона

Здесь-
вектор, наз. множителем Лагранжа (или импульсом),
означает скалярное произведение векторов
Необходимое условие в задаче Лагранжа формулируется след, образом: для
того чтобы функцииибыли
решением задачи Лагранжа, необходимо, чтобы
была стационарной точкой функции Гамильтона
т. е. чтобы при
было
где-
не равное тождественно нулю решение ур-ния

(8)

Эта теорема
имеет важное прикладное значение, т. к. она открывает известные возможности
для фактич. нахождения векторов x(t) и u(t).

Развитие В.
и. в 19 в. Осн. усилия математиков в 19 в. были направлены на исследование
условий, необходимых или достаточных для того, чтобы функция x(t) реализовала
экстремум функционала J(x). Ур-ние Эйлера было первым из таких условий;
оно аналогично необходимому условию , к-рое устанавливается в теории
функций конечного числа переменных. Однако в этой теории известны ещё и
др. условия. Напр., для того, чтобы функция f(x) имела в точке

минимум, необходимо, чтобы в этой

точке было
каков бы ни

был произвольный
вектор h. Естественно поставить вопрос: в какой степени эти результаты
переносятся на случай функционалов? Для того чтобы представить себе сложность,
к-рая здесь возникает, заметим, что функция
может реализовать минимум среди функций одного класса и не давать минимум
среди функций другого класса и т. д. Подобные вопросы послужили источником
разнообразных и глубоких исследований А. Лежандра, К. Якоби,
М. В. Остроградского, У. Гамильтона, К. Вейерштрасса
и мн. др. Эти исследования не только обогатили матем. анализ, но и
сыграли большую роль в формировании идей аналитич. механики и ока-

зали серьёзное
влияние на развитие разнообразных отделов теоретической физики.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я