БЕСКОНЕЧНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

БЕСКОНЕЧНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ произведение
бесконечного числа сомножителей иuт. е. выражение вида

Б. п., в к-ром сомножителями являются
числа, иногда наз. бесконечным числовым произведением. Б. п. не всегда
может быть приписано числовое значение. Если существует отличный от нуля
предел
последовательности
частичных произведений р= u...
и

при n-> БЕСКОНЕЧНОСТЬ, то
Б. п. наз. сходящимся, а lim р

Исторически Б. п. впервые встретились
в связи с задачей о вычислении числа я. Так, франц. математик Ф. Виет (16
в.) получил формулу:

а англ. математик Дж. Валлис (17
в.) -формулу:

Особое значение Б. п. приобрели после
работ Л. Эйлера, применившего Б. п. для изображения функций. Примером
может служить разложение синуса:

Разложения функции в Б. п. аналогичны
разложениям многочленов на линейные множители; они замечательны тем, что
выявляют все значения независимого переменного, при к-рых функция обращается
в нуль.

Для сходимости Б. п. необходимо и
достаточно, чтобы uне= 0 для всех номеров п,
чтобы
u > 0, начиная с нек-рого номера N. и чтобы сходился
ряд

Т. о., исследование сходимости Б.
п. эквивалентно исследованию сходимости этого ряда.

Лит.: Фихтенгольц Г. М., Курс
дифференциального и интегрального исчисления, т. 2, М.- Л., 1966; Ильин
В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, М., 1965.