БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ

БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ в математике,
переменная величина, стремящаяся к пределу, равному нулю. Для того
чтобы понятие Б. м. имело точный смысл, необходимо указывать тот процесс
изменения, при к-ром данная величина становится Б. м. Напр., величина y
= 1/x является Б. м. при аргументе х, стремящемся к бесконечности,
а при х, стремящемся к нулю, она оказывается бесконечно большой.
Если
предел переменной у конечен и равен а, то lim(y-а) = 0 и обратно.
Поэтому понятие Б. м. величины можно положить в основу общего определения
предела переменной величины. Теория Б. м. является одним из способов построения
теории пределов.

При рассмотрении нескольких переменных
величин, участвующих в одном и том же процессе изменения, переменные у
и
z
наз.
эквивалентными, если lim z/y= 1; если при этом у
является Б. м.,
то у и z наз. эквивалентными Б. м. Переменная z наз. Б. м. относительно
у,
если
z/y есть Б. м. Последний факт часто записывается в виде
z =o(y)
(читается:
"z есть о малое от y"). Если при этом
у является Б. м., то
говорят, что z есть Б. м. более высокого порядка, чем у. Часто среди
нескольких Б. м., участвующих в одном и том же процессе изменения, одна
из них, скажем у,
принимается за главную, и с ней сравниваются все
остальные. Тогда говорят, что z есть Б. м. порядка k>0, если предел lim
z/y^k существует и отличен от нуля; если же этот предел равен
нулю, то z наз. Б. м. порядка выше k.
Изучение порядков различного
рода Б. м.- одна из важных задач математич. анализа.

Для случая, когда переменная величина
есть функция аргумента х, из общего определения предела вытекает
такое развёрнутое определение Б. м.: функция f(x), определённая
в окрестности точки хназ. Б. м. при х, стремящемся
к хесли для любого положительного числа е найдётся
такое положительное число 5, что для всех xне=xудовлетворяющих
условию |х-xб, выполняется неравенство |f(х)l<e.
Этот факт записывается в виде limfx(х)=0. При изучении
функции f (х) вблизи точки Ха за главную Б. м. принимают
приращение независимого переменного Дx=x-хФормула
Дy = f' (xx + о (Дx) выражает,
напр., что приращение Дy дифференцируемой функции с точностью до
Б. м. порядка выше первого совпадает с её дифференциалом dy = =f'(xх.

Метод Б. м., или (что то же) метод
пределов, является в наст. время осн. методом обоснования математич. анализа,
почему его и наз. также анализом Б. м. Он заменил исчерпывания метод
древних
и "неделимых" метод. Метод Б. м. был намечен И. Ньютоном (1666)
и получил всеобщее признание после работ О. Коши. При помощи Б.
м. даются определения таких основных понятий анализа, как сходящийся ряд,
интеграл, производная, дифференциал. Кроме того, метод Б. м. служит одним
из осн. методов приложения математики к задачам естествознания. Это связано
с тем, что большинство закономерностей механики и классич. физики выражается
в виде формул, связывающих Б. м. приращения изучаемых величин, и обращение
к Б. м. является обычным приёмом составления дифференциальных уравнений
задачи.

Лит. см. при ст. Анализ
математический. С. Б. Стечкин.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я