Аксиоматическое построение арифметики.
Начало следующего этапа - аксио-матич. построение А.- относится
уже к 19 в. и связано с общим процессом кри-тич. пересмотра логич. основ
математики, в к-ром важнейшую роль сыграли, в частности, работы Н. И. Лобачевского
по геометрии. Самая простота и очевидная бесспорность начальных положений
А. затрудняли выделение основных положений - аксиом и определений, к-рые
могли бы служить исходным пунктом построения теории. Первые намёки на возможность
такого построения имеются уже в доказательстве соотношения 2*2 = 4, данном
Г. Лейбницем (см. ниже).
Лишь в сер. 19 в. Г. Грасману
удалось выбрать систему основных аксиом, определяющих действия сложения
и умножения так, чтобы остальные положения А. вытекали из неё как логич.
следствие. Если иметь в виду натуральный ряд чисел, начиная от I, и определить
2 как 1 + 1, 3 как 2 + 1, 4 как 3+1 и т. д., то одного общего положения
а + (b+1) = = (а + b) + 1, принимаемого в качестве аксиомы или определения
сложения, оказывается достаточно для того, чтобы не только вывести формулы
частного типа, как, напр., 3+2 = 5, но, пользуясь методом математической
индукции, доказать и общие свойства сложения, верные для любых натуральных
чисел<, - переместительный и сочетательный законы. Подобную же роль
для умножения играют формулы а*1 = а и а (b + 1) = = ab + а. Так, упомянутое
выше доказательство соотношения 2*2 = 4 можно представить в виде цепочки
равенств, вытекающей из приведённых здесь формул и определения чисел 2,
3 и 4, именно: 2* 2 = 2 (1+1) =2* 1 + 2*1=2+2 = = 2 + (1 + 1) = (2 + 1)
+ 1= 3 + 1= 4.
После доказательства переместительно-го
(см. Коммутативность), сочетательного (см. Ассоциативность) и распределительного
(см. Дистрибутивность) (по отношению к сложению) законов действия умножения
дальнейшее построение теории арифметич. действий над натуральными числами
не представляет уже принципиальных затруднений. Если оставаться на том
же уровне абстракции, то дробные числа приходится вводить как пары целых
чисел (числитель и знаменатель), подчинённые определённым законам сравнения
и действии (см. Дробь),
Построение Грасмана было
завершено в дальнейшем работами Дж. Пеано, в к-рых отчётливо выделена система
основных (не определяемых через другие понятия) понятий, именно: понятие
натурального числа, понятие следования одного числа непосредственно за
другим в натуральном ряде и понятие начального члена натурального ряда
(за к-рый можно принять О или 1). Эти понятия связаны между собой пятью
аксиомами, к-рые можно рассматривать как аксиоматич. определение указанных
основных понятий.
Аксиомы Пеано: 1)1 есть натуральное
число; 2) следующее за натуральным числом есть натуральное число; 3) 1
не следует ни за каким натуральным числом; 4) если натуральное число а
следует за натуральным числом b и за натуральным числом с, то b и с тождественны;
5) если какое-либо предложение доказано для 1 и если из допущения<, что
оно верно для натурального числа я, вытекает, что оно верно для следующего
за n натурального числа, то это предложение верно для всех натуральных
чисел. Эта аксиома - аксиома полной индукции - даёт возможность в дальнейшем
пользоваться грас-мановскими определениями действий и доказывать общие
свойства натуральных чисел.
Эти построения, дающие решение
задачи обоснования формальных положений А<., оставляют в стороне
вопрос о логич. структуре А. натуральных чисел в более широком смысле слова,
с включением тех операций, к-рые определяют собой приложения А. как в рамках
самой математики, так и в „практич. жизни. Анализ этой стороны вопроса,
выяснив содержание понятия количественного числа, вместе с тем показал,
что вопрос об обосновании А. тесно связан с более общими принципиальными
проблемами мето-дологич. анализа матем. дисциплин. Если простейшие предложения
А., относящиеся к элементарному счёту объектов и являющиеся обобщением
многовекового опыта человечества, естественно укладываются в простейшие
логич. схемы, то А. как матем. дисциплина, изучающая бесконечную совокупность
натуральных чисел, требует исследования непротиворечивости соответствующей
системы аксиом и более детального анализа смысла вытекающих из неё общих
предложений.
Лит.: Клейн Ф., Элементарная
математика с точки зрения высшей, пер. с нем., З изд., т. 1.М. -Л., 1935;
Арнольд И. В., Теоретическая арифметика, 2 изд., М., 1939; Беллюстин В.
К., Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики, М.<, 1940;
Гребенча М. К., Арифметика, 2 изд., М., 1952; Берман Г. Н., Число и наука
о нем, 3 изд., М., 1960; Депман И. Я., История арифметики, 2 изд., М.,
1965; Выгодский М. Я., Арифметика и алгебра в Древнем мире, 2 изд., М.,
1967. И. В. Арнольд.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я