АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
способ построения науч. теории, при к-ром в её основу кладутся
нек-рые исходные положения (суждения) - аксиомы, или постулаты, из к-рых
все остальные утверждения этой науки (теоремы) должны выводиться чисто
логич. путём, посредством доказательств. Назначение А. м. состоит в ограничении
произвола при принятии науч. суждений в качестве истин данной теории. Построение
науки на основе А. м. обычно наз. дедуктивным. Все понятия дедуктивной
теории (кроме фиксированного числа первоначальных) вводятся посредством
определений, выражающих (или разъясняющих) их через ранее введённые понятия.
В той или иной мере дедуктивные доказательства, характерные для А. м.,
применяются во мн. науках. Но, несмотря на попытки систематич. применения
А. м. к изложению философии (Б. Спиноза), социологии (Дж. Вико), политич.
экономии (К. Родбертус-Ягецов), биологии (Дж. Вуджер) и др. наук, главной
областью его приложения до сих пор остаются математика и символич. логика,
а также нек-рые разделы физики (механика, термодина-мика<, электродинамика
и др.).
А. м. прошёл
в своём историч. развитии 3 стадии. Первая связана с построением геометрии
в Др. Греции. Осн. сочинение этого периода - "Начала" Евклида (хотя, по-видимому,
и до него Пифагор, к-рому приписывается открытие А. м., а затем Платон
и его ученики немало сделали для развития геометрии на основе А. м.). В
то время считалось, что в качестве аксиом должны выбираться суждения, истинность
к-рых "самоочевидна", так что истинность теорем считалась гарантированной
безупречностью самой логики. Но Евклиду не удалось ограничиться чисто логич.
средствами при построении геометрии на основе аксиом. Он охотно прибегал
к интуиции в вопросах, касающихся непрерывности, взаимного расположения
и равенства геометрич. объектов. Впрочем, во времена Евклида такие обращения
к интуиции могли и не восприниматься как выход за пределы логики - прежде
всего потому, что сама логика не была ещё аксиоматизирована (хотя частичная
формализация логики, осуществлённая Аристотелем и его последователями,
и была нек-рым приближением к аксиоматизации). Не было и достаточной отчётливости
во введении первонач- понятий и при определении новых понятий.
Начало второй
стадии в истории А. м. связывают обычно с открытием Н. И. Лобачевским,
Я. Болъяй и К. Ф. Гауссом возможности построить непротиворечивым образом
геометрию, исходя из систем аксиом, отличной от евклидовой. Это открытие
разрушило убеждение в абсолютной ("очевидной" или "априорной") истинности
аксиом и основанных на них науч. теорий. Теперь аксиомы стали пониматься
просто как исходные положения данной теории, вопрос же об их истинности
в том или ином смысле (и выбор в качестве аксиом) выходит за рамки аксиоматич.
теории как таковой и относится к её взаимоотношению с фактами, лежащими
вне её. Появилось много (и притом различных) геометрич., арифметич. и алгебраич.
теорий, к-рые строились средствами А. м. (работы Р. Дедекинда, Г. Грасмана
и др.). Эта стадия развития А. м. завершилась созданием аксиоматич. систем
арифметики (Дж. Пеано, 1891), геометрии (Д. Гильберт, 1899), исчисления
высказываний и предикатов (А. Н. Уайтхед и Б. Рассел, Англия, 1910) и аксиоматической
теории множеств (Э. Цермело, 1908).
Гильбертовская
аксиоматизация геометрии позволила Ф. Клейну и А. Пуанкаре доказать непротиворечивость
геометрии Лобачевского относительно евклидовой геометрии посредством указания
интерпретации понятий и предложений неевклидовой геометрии в терминах геометрии
Евклида, или, как говорят, построения модели первой средствами второй.
Метод моделей (интерпретаций) стал с тех пор важнейшим методом установления
относит, непротиворечивости аксиоматич. теорий. В то же время со всей отчётливостью
выявилось, что, кроме "естественной" интерпретации (т. е. той, ради уточнения
и развития к-рой данная теория строилась), у аксиоматич. теории могут быть
и др. интерпретации, причём её можно с равным основанием считать •"говорящей"
о каждой из них.
Последовательное
развитие этой идеи и стремление точно описать логич. средства вывода теорем
яз аксиом привели Гильберта к концепция формального А. м., характерной
для третьей, современной его стадии. Осн. идея Гильберта-полная формализаци
я языка науки, при к-рой её суждения рассматриваются просто как последовательности
знаков (формулы), не имеющие как таковые никакого смысла (к-рый они приобретают
лишь при нек-рой конкретной интерпретации). Это относится и к аксиомам
- как общелогическим, так и специфическим для данной теории. Для вывода
теорем из аксиом (и вообще одних формул из других) формулируются спец.
правила вывода (напр., т. н. правило modus po-nens - "правило зачёркивания",
позволяющее получить В из Л и "Л влечёт В")-Доказательство в такой теории
(исчислении, или формальной системе) - это просто последовательность формул,
каждая из к-рых либо есть аксиома, либо получается из предыдущих формул
последовательности по к.-л. правилу вывода. В отличие от таких формальных
доказательств, свойства самой формальной системы в целом обсуждаются -
а иногда их удаётся и доказать - содержательными средствами т. н. метатеории,
т. е. теории, рассматривающей данную ("предметную") теорию как предмет
изучения. На языке метатеории (м е-таязыка) формулируются и правила вывода
предметной теории. По замыслу Гильберта, в рамках созданной им теории доказательств,
т. е. допуская в метатеории только т. н. финитные способы рассуждения (не
использующие ссылки ни на какие объекты, не имеющие конечного построения),
можно было бы доказать непротиворечивость и полноту всей классич. математики
(т. е. доказуемость каждой формулы, истинной при нек-рой определённой интерпретации).
Несмотря на ряд значит, результатов в этом направлении, гильбертов-ская
программа в целом (её обычно наз. формализмом) невыполнима, т. к., согласно
важнейшему результату К. Гёделя (1931), всякая достаточно богатая непротиворечивая
формальная система непременно неполна (т. н. теорема о неполноте). Теорема
Гёделя свидетельствует об ограниченности А. м. (хотя определённые расширения
допускаемых метатеоретич. средств и позволили нем. математику Г. Генцену,
П. С. Новикову и др. математикам получить доказательство непротиворечивости
формализованной арифметики).
А. м. подвержен
также критике, исходящей из различных семантических (см. Логическая семантика)
критериев. Так, интуиционисты (Л. Э. Я. Брауэр, Г.Вейлъ и др.) не признают
обоснованности в применении к бесконечным множествам принципа исключённого
третьего (см. Исключённого третьего принцип), между тем этот принцип не
только берётся в качестве логич. аксиомы в большинстве формальных теорий,
но и используется по существу (хотя я неявно) в основных предпосылках гильбертовской
программы, согласно к-рой непротиворечивость теории - достаточное условие
её "истинности". Как и интуиционизм, конструктивное направление в математике
(в СССР - А. А. Марков и Н. А. Шанин) считает назначением математики изучение
не произвольных моделей непротиворечивых формальных систем, а лишь совокупностей
объектов, допускающих в определённом смысле эффективное построение.
Ещё более существенные
возражения против А. м. выдвигает ультраинтуиционистская критика, ставящая
под сомнение единственность натурального ряда чисел и, тем самым, однозначную
определённость понятия теоремы формальной системы. Согласно этой критике,
А. м. основан на "принципе локальности для доказательств", предполагающем,
что если аксиомы истинны и правила вывода сохраняют истинность, то истинными
непременно должны быть и теоремы, Т. о., интуитивное обоснование общеупотребительного
принципа мате-матич. индукции, согласно ультраинтуиционистской критике,
содержит неустранимый порочный круг. Ультраинтуиционизм, не ограничиваясь
критикой, предлагает и положительную программу преодоления указанных трудностей.
Лит.: Начала
Евклида, пер. с греч., [т. 1 - 3], М.- Л., 1948-50; Клини С. К., Введение
в метаматематику, пер. сангл.,М., 1957 (библ.); Новиков П. С.. Элементы
математической логики, M.
построения науч. знания, в кн.: Филос. вопросы совр. формальной логики,
М., 1962; Нilbert D., Bernays P., Grundlagen der Mathematik, Bd 1 - 2,
В., 1934 - 39. Ю. А. Гастев, Л. С. Есенин-Вольпин.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я